Integral resuelta paso a paso

Integral de 1/(∜x + √x)

Resolvemos ∫ 1/(∜x + √x) dx —la integral de 1/(∜x + √x)— paso a paso . Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Índices 4 y 2: el mcm es 4.

   $$\mathrm{mcm}(4,2)=4$$
2. 2

   Cambio x=t⁴.

   $$dx=4t^{3}dt,\sqrt[4]{x}=t,\sqrt{x}=t^2$$
3. 3

   Sustituye y simplifica.

   $$\int \frac{4t^3}{t+t^2}dt=4\int \frac{t^2}{1+t}dt$$
4. 4

   Divide.

   $$\frac{t^2}{1+t}=t-1+\frac{1}{1+t}$$
5. 5

   Integra y deshaz.

   $$4\left(\frac{t^2}{2}-t+\ln |1+t|\right)$$

Por tanto, la integral de 1/(∜x + √x) es 2√x − 4∜x + 4 ln(1+∜x) + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar 1/(∜x + √x).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? Con índices 4 y 2, el mcm es 4: x=t⁴ vuelve todo racional y la división deja un polinomio más un logaritmo.

Error típico. Usar t⁸ (producto de índices) en vez de t⁴ (mcm): funciona pero complica innecesariamente.

Más integrales de racionalización

$$\int \frac{\sqrt[3]{x}}{1+\sqrt{x}}dx$$

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x}+x^{3/4}}$$

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}$$

$$\int \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}dx$$

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x+1}-\sqrt[3]{x+1}}$$

$$\int \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}dx$$

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