Integral resuelta paso a paso

Integral de √(4 − x²)

Resolvemos ∫ √(4 − x²) dx —la integral de √(4 − x²)— paso a paso . Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado y la explicación en vídeo.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Patrón √(a²−x²) con a=2: cambio de seno.

   $$x=2\mathrm{sen}\theta ,dx=2\cos \theta d\theta ,\sqrt{4-x^2}=2\cos \theta$$
2. 2

   Sustituye.

   $$\int 2\cos \theta \cdot 2\cos \theta d\theta =4\int {\cos }^2\theta d\theta$$
3. 3

   Baja el ángulo.

   $$4\left(\frac{\theta }{2}+\frac{\mathrm{sen}2\theta }{4}\right)=2\theta +\mathrm{sen}2\theta$$
4. 4

   Desdobla y vuelve con el triángulo.

   $$\theta =\arcsin \frac{x}{2},\mathrm{sen}2\theta =\frac{x\sqrt{4-x^2}}{2}$$

Por tanto, la integral de √(4 − x²) es 2 arcsinx/2 + (x√(4 − x²))/2 + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar √(4 − x²).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? √(a²−x²) con a=2: x=2sen θ deja la raíz en 2cos θ y la integral en 4∫cos²θ. Entre −2 y 2 vale 2π, el área del semicírculo de radio 2.

Error típico. No volver a x. La respuesta debe quedar en x usando θ=arcsen(x/2) y el triángulo, no en θ.

▶ Explicación en vídeo

Te explico esta integral paso a paso en vídeo. Del canal de YouTube DVC Profe.

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