Integral resuelta paso a paso

Integral de 1/(1 − x²)^(3/2)

Resolvemos ∫ 1/(1 − x²)^(3/2) dx —la integral de 1/(1 − x²)^(3/2)— paso a paso . Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   El exponente 3/2 es una raíz al cubo: mismo patrón √(a²−x²).

   $$(1-x^2{)}^{3/2}=(\sqrt{1-x^2}{)}^3$$
2. 2

   Cambio x=sen θ.

   $$(1-x^2{)}^{3/2}={\cos }^3\theta ,dx=\cos \theta d\theta$$
3. 3

   Sustituye.

   $$\int \frac{\cos \theta }{{\cos }^3\theta }d\theta =\int {\sec }^2\theta d\theta$$
4. 4

   Integra.

   $$\mathrm{tg}\theta$$
5. 5

   Vuelve con el triángulo.

   $$\mathrm{tg}\theta =\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$$

Por tanto, la integral de 1/(1 − x²)^(3/2) es x/√(1 − x²) + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar 1/(1 − x²)^(3/2).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? Una potencia 3/2 es (√(1−x²))³: el mismo cambio x=sen θ la convierte en cos³θ, y la integral se reduce a ∫sec²θ=tg θ. Una integral de aspecto horrible que sale en cuatro líneas.

Error típico. No reconocer que (1−x²)^{3/2} es la raíz al cubo y buscar otro método. Es el patrón del seno con exponente impar de la raíz.

Más integrales de sustitución trigonométrica

$$\int \sqrt{4-x^2}dx$$

$$\int \frac{dx}{x\sqrt{9-x^2}}$$

$$\int \frac{x^2}{\sqrt{9-x^2}}dx$$

$$\int \frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}dx$$

$$\int \frac{dx}{x^2\sqrt{4-x^2}}$$

$$\int \frac{\sqrt{9-x^2}}{x^2}dx$$

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