Integral resuelta paso a paso

Integral de 1/√(x² + 3x + 2)

Resolvemos ∫ 1/√(x² + 3x + 2) dx —la integral de 1/√(x² + 3x + 2)— paso a paso . Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Completa cuadrados con coeficiente impar: la mitad de 3 es 3/2, su cuadrado 9/4.

   $$x^2+3x+2=(x+\frac{3}{2}{)}^2-\frac{1}{4}$$
2. 2

   Es el patrón √(u²−a²) con a=1/2.

   $$u=x+\frac{3}{2}$$
3. 3

   Aplica el logaritmo del tipo secante.

   $$\ln |u+\sqrt{u^2-\frac{1}{4}}|$$
4. 4

   Deshaz el cambio.

   $$\ln \left|x+\frac{3}{2}+\sqrt{x^2+3x+2}\right|$$

Por tanto, la integral de 1/√(x² + 3x + 2) es ln|x + 3/2 + √(x² + 3x + 2)|+C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar 1/√(x² + 3x + 2).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? Aunque el coeficiente de x sea impar, se completa cuadrados igual: (x+3/2)²−1/4, el patrón de la secante con a=1/2.

Error típico. Equivocar el término independiente al completar: (3/2)²=9/4, y 2−9/4=−1/4.

Más integrales de sustitución trigonométrica

$$\int \sqrt{2x-x^2}dx$$

$$\int \frac{2x-1}{\sqrt{4x-x^2}}dx$$

$$\int \frac{dx}{(x^2-2x+2{)}^{3/2}}$$

$$\int \frac{dx}{(x^2+2x+2{)}^2}$$

$$\int \frac{xdx}{\sqrt{x^2+6x+13}}$$

$$\int \sqrt{x^2-4x+3}dx$$

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