Integral resuelta paso a paso

Integral de (x² − 1)/(x⁴ + 1)

Resolvemos ∫ (x² − 1)/(x⁴ + 1) dx —la integral de (x² − 1)/(x⁴ + 1)— paso a paso por sustitución (cambio de variable). Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado y la explicación en vídeo.

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✎ Solución paso a paso

1. 1
   $$÷x^2:=\int \frac{1-\frac{1}{x^2}}{x^2+\frac{1}{x^2}}dx$$
2. 2
   $$u=x+\frac{1}{x}\Rightarrow du=(1-\frac{1}{x^2})dx,x^2+\frac{1}{x^2}=u^2-2$$

Por tanto, la integral de (x² − 1)/(x⁴ + 1) es 1/(2√2) ln|(x² − √2 x + 1)/(x² + √2 x + 1)|+C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar (x² − 1)/(x⁴ + 1).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre la sustitución (cambio de variable)

¿Por qué este método? Dividiendo por x² aparece la derivada de x+1/x: da un logaritmo o arcotangente.

Error típico. No dividir por x² para ver el cambio adecuado.

Teoría: Cambio de variable →

▶ Explicación en vídeo

Te explico esta integral paso a paso en vídeo. Del canal de YouTube DVC Profe.

Ver en YouTube →

Más integrales de sustitución

$$\int \frac{x^2+1}{x^4+1}dx$$

$$\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}$$

$$\int \frac{dx}{x(x^{10}+1)}$$

$$\int \frac{xdx}{\sqrt{1-x^4}}$$

$${\int }_0^1\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{1-x}}dx$$

$$\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^6}}dx$$

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