Integral resuelta paso a paso

Integral de (2x³ − x + 4)/(x² + 1)

Resolvemos ∫ (2x³ − x + 4)/(x² + 1) dx —la integral de (2x³ − x + 4)/(x² + 1)— paso a paso por fracciones parciales. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Impropia: divide. Cociente 2x, resto -3x+4.

   $$\frac{2x^3-x+4}{x^2+1}=2x+\frac{-3x+4}{x^2+1}$$
2. 2

   Parte el resto: uno logaritmico (derivada del denominador arriba) y uno de arcotangente.

   $$=2x-3\cdot \frac{x}{x^2+1}+\frac{4}{x^2+1}$$
3. 3

   Ajusta el logaritmico (multiplica y divide por 2) e integra el arcotangente.

   $$-\frac{3}{2}\ln (x^2+1)+4\arctan x$$
4. 4

   Junta con la integral de 2x.

   $$=x^2-\frac{3}{2}\ln (x^2+1)+4\arctan x+C$$

Por tanto, la integral de (2x³ − x + 4)/(x² + 1) es x² − 3/2 ln(x² + 1) + 4 arctg x + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar (2x³ − x + 4)/(x² + 1).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre las fracciones parciales

¿Por qué este método? Grado 3 sobre 2: se divide primero; el resto queda sobre x²+1 (arcotangente y logaritmo).

Error típico. No dividir antes: el numerador tiene mayor grado que el denominador.

Teoría: Fracciones parciales →

Más integrales de fracciones parciales

$$\int \frac{x^4}{x^2+1}dx$$

$$\int \frac{x^3+2x^2-x}{x^2-1}dx$$

$$\int \frac{2x^2+3}{x(x-1)(x+1)}dx$$

$$\int \frac{3x^2-2}{x^3-4x}dx$$

$$\int \frac{x}{(x+2{)}^2}dx$$

$$\int \frac{x+1}{x^2(x-1)}dx$$

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