Integral resuelta paso a paso

Integral de 1/(4 + x²)²

Resolvemos ∫ 1/(4 + x²)² dx —la integral de 1/(4 + x²)²— paso a paso . Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Aunque no hay raíz, el cambio de tangente también sirve.

   $$x=2\mathrm{tg}\theta ,(4+x^2{)}^2=16{\sec }^4\theta$$
2. 2

   Sustituye.

   $$\int \frac{2{\sec }^2\theta }{16{\sec }^4\theta }d\theta =\frac{1}{8}\int {\cos }^2\theta d\theta$$
3. 3

   Baja el ángulo.

   $$\frac{1}{8}\left(\frac{\theta }{2}+\frac{\mathrm{sen}2\theta }{4}\right)$$
4. 4

   Desdobla y vuelve con el triángulo.

   $$\theta =\arctan \frac{x}{2},\mathrm{sen}2\theta =\frac{4x}{x^2+4}$$

Por tanto, la integral de 1/(4 + x²)² es x/(8(x² + 4)) + 1/16 arctanx/2 + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar 1/(4 + x²)².

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? El cambio de tangente sirve también sin raíz, cuando hay (a²+x²) elevado: aquí (4+x²)²=16sec⁴θ y la integral se reduce a (1/8)∫cos²θ.

Error típico. Creer que la sustitución trigonométrica solo vale con raíces. También resuelve potencias de (a²+x²).

Más integrales de sustitución trigonométrica

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}$$

$$\int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+1}}$$

$$\int \frac{\sqrt{x^2-4}}{x}dx$$

$$\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2+16}}$$

$$\int \frac{dx}{x^3\sqrt{x^2-1}}$$

$$\int \frac{dx}{(x^2+9{)}^{3/2}}$$

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