Integral resuelta paso a paso

Integral de 1/(x² − 1)

Resolvemos ∫ 1/(x² − 1) dx —la integral de 1/(x² − 1)— paso a paso por fracciones parciales. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

---

✎ Solución paso a paso

1. 1

   Factorizamos el denominador (diferencia de cuadrados).

   $$x^2-1=(x-1)(x+1)$$
2. 2

   Planteamos la descomposición en fracciones parciales.

   $$\frac{1}{(x-1)(x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}$$
3. 3

   Multiplicamos por el denominador común y evaluamos para hallar A y B.

   $$1=A(x+1)+B(x-1)⟹A=1/2,B=-1/2$$
4. 4

   Sustituimos en la integral y resolvemos mediante logaritmos.

   $$\int \left(\frac{1/2}{x-1}-\frac{1/2}{x+1}\right)dx=\frac{1}{2}\ln |x-1|-\frac{1}{2}\ln |x+1|+C$$

Por tanto, la integral de 1/(x² − 1) es 1/2 ln|(x − 1)/(x + 1)| + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar 1/(x² − 1).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre las fracciones parciales

¿Por qué este método? Denominador con dos raíces reales simples: 1/((x−1)(x+1)) se abre en A/(x−1)+B/(x+1) por el método de tapar.

Error típico. No factorizar x²−1=(x−1)(x+1) antes de descomponer.

Teoría: Fracciones parciales →

Más integrales de fracciones parciales

$$\int \frac{x+1}{x^2+x-2}dx$$

$$\int \frac{2x+3}{x^2+x}dx$$

$$\int \frac{2x^3-x+4}{x^2+1}dx$$

$$\int \frac{x^4}{x^2+1}dx$$

$$\int \frac{x^3+2x^2-x}{x^2-1}dx$$

$$\int \frac{2x^2+3}{x(x-1)(x+1)}dx$$

← Volver a fracciones parciales