Integral resuelta paso a paso

Integral de (x + 1)/(x² + x − 2)

Resolvemos ∫ (x + 1)/(x² + x − 2) dx —la integral de (x + 1)/(x² + x − 2)— paso a paso por fracciones parciales. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Primero comprobamos si el numerador es derivada del denominador. d(x^2+x-2) = 2x+1. Como no lo es, factorizamos el denominador.

   $$x^2+x-2=(x+2)(x-1)$$
2. 2

   Descomponemos en fracciones parciales.

   $$\frac{x+1}{(x+2)(x-1)}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-1}$$
3. 3

   Hallamos las constantes.

   $$x+1=A(x-1)+B(x+2)⟹A=1/3,B=2/3$$
4. 4

   Integramos.

   $$\int \left(\frac{1/3}{x+2}+\frac{2/3}{x-1}\right)dx=\frac{1}{3}\ln |x+2|+\frac{2}{3}\ln |x-1|+C$$

Por tanto, la integral de (x + 1)/(x² + x − 2) es 1/3 ln|x + 2| + 2/3 ln|x − 1| + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar (x + 1)/(x² + x − 2).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre las fracciones parciales

¿Por qué este método? Raíces reales simples (x−1)(x+2): se descompone y cada trozo es un logaritmo.

Error típico. Descomponer sin factorizar x²+x−2=(x−1)(x+2) primero.

Teoría: Fracciones parciales →

Más integrales de fracciones parciales

$$\int \frac{1}{x^2-1}dx$$

$$\int \frac{2x+3}{x^2+x}dx$$

$$\int \frac{2x^3-x+4}{x^2+1}dx$$

$$\int \frac{x^4}{x^2+1}dx$$

$$\int \frac{x^3+2x^2-x}{x^2-1}dx$$

$$\int \frac{2x^2+3}{x(x-1)(x+1)}dx$$

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