Integral resuelta paso a paso

Integral de 1/(x⁴ + 1)

Resolvemos ∫ 1/(x⁴ + 1) dx —la integral de 1/(x⁴ + 1)— paso a paso por fracciones parciales. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado y la explicación en vídeo.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Esta es una integral clásica y de nivel avanzado. Primero factorizamos el denominador añadiendo y restando 2x^2.

   $$x^4+1=(x^2+1{)}^2-2x^2=(x^2-\sqrt{2}x+1)(x^2+\sqrt{2}x+1)$$
2. 2

   Separamos en fracciones parciales con numeradores lineales.

   $$\frac{1}{x^4+1}=\frac{Ax+B}{x^2-\sqrt{2}x+1}+\frac{Cx+D}{x^2+\sqrt{2}x+1}$$
3. 3

   Al resolver el sistema (un proceso largo), obtenemos los coeficientes.

   $$A=-\frac{\sqrt{2}}{4},B=\frac{1}{2},C=\frac{\sqrt{2}}{4},D=\frac{1}{2}$$
4. 4

   Las integrales resultantes se resuelven completando cuadrados, dando arcotangentes y logaritmos.

   $$\frac{1}{4\sqrt{2}}\ln \left|\frac{x^2+\sqrt{2}x+1}{x^2-\sqrt{2}x+1}\right|+\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\arctan (\sqrt{2}x+1)+\arctan (\sqrt{2}x-1)\right)+C$$

Por tanto, la integral de 1/(x⁴ + 1) es Ver pasos para solución detallada. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar 1/(x⁴ + 1).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre las fracciones parciales

¿Por qué este método? x⁴+1 no tiene raíces reales: se factoriza en dos cuadráticos irreducibles y se descompone con numeradores lineales (Ax+B).

Error típico. Buscar raíces reales de x⁴+1: no las hay. Hay que factorizarlo como producto de dos trinomios de segundo grado.

Teoría: Fracciones parciales →

▶ Explicación en vídeo

Te explico esta integral paso a paso en vídeo. Del canal de YouTube DVC Profe.

Ver en YouTube →

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$$\int \frac{dx}{x^3-1}$$

$$\int \frac{dx}{x^3+8}$$

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