Integral resuelta paso a paso

Integral de x²/√(4 − x²)

Resolvemos ∫ x²/√(4 − x²) dx —la integral de x²/√(4 − x²)— paso a paso . Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

---

✎ Solución paso a paso

1. 1

   Patrón √(a²−x²) con a=2.

   $$x=2\mathrm{sen}\theta ,\sqrt{4-x^2}=2\cos \theta$$
2. 2

   Sustituye: queda 4∫sen²θ.

   $$\int \frac{4{\mathrm{sen}}^2\theta \cdot 2\cos \theta }{2\cos \theta }d\theta =4\int {\mathrm{sen}}^2\theta d\theta$$
3. 3

   Baja el ángulo.

   $$2\theta -\mathrm{sen}2\theta$$
4. 4

   Desdobla y vuelve con el triángulo.

   $$\theta =\arcsin \frac{x}{2},\mathrm{sen}2\theta =\frac{x\sqrt{4-x^2}}{2}$$

Por tanto, la integral de x²/√(4 − x²) es 2 arcsinx/2 − (x√(4 − x²))/2 + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar x²/√(4 − x²).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? Igual que ∫x²/√(9−x²) pero con a=2: x=2sen θ deja 4∫sen²θ, se baja el ángulo y se vuelve a x con el triángulo.

Error típico. Confundir el signo al desdoblar: aquí el resultado lleva −x√(4−x²)/2 (el seno resta), no suma.

Más integrales de sustitución trigonométrica

$$\int \frac{dx}{x\sqrt{9-x^2}}$$

$$\int \frac{\sqrt{9-x^2}}{x^2}dx$$

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}$$

$$\int \frac{dx}{(1-x^2{)}^{3/2}}$$

$$\int \frac{dx}{(x^2+9{)}^{3/2}}$$

$$\int \sqrt{4-x^2}dx$$

← Volver a sustitución trigonométrica