Integral resuelta paso a paso

Integral de √(9 − x²)/x²

Resolvemos ∫ √(9 − x²)/x² dx —la integral de √(9 − x²)/x²— paso a paso . Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Patrón √(a²−x²) con a=3.

   $$x=3\mathrm{sen}\theta$$
2. 2

   Sustituye.

   $$\int \frac{3\cos \theta \cdot 3\cos \theta }{9{\mathrm{sen}}^2\theta }d\theta =\int {\cot }^2\theta d\theta$$
3. 3

   Usa la identidad para poder integrar.

   $${\cot }^2\theta ={\csc }^2\theta -1$$
4. 4

   Integra.

   $$-\cot \theta -\theta$$
5. 5

   Vuelve con el triángulo.

   $$-\frac{\sqrt{9-x^2}}{x}-\arcsin \frac{x}{3}$$

Por tanto, la integral de √(9 − x²)/x² es -√(9 − x²)/x − arcsinx/3 + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar √(9 − x²)/x².

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? √(a²−x²) con a=3 y x² en el denominador: la integral se reduce a ∫cot²θ, que se resuelve con cot²θ=csc²θ−1.

Error típico. No aplicar cot²θ=csc²θ−1: la cotangente al cuadrado no es directa de integrar sin esa identidad.

Más integrales de sustitución trigonométrica

$$\int \frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}dx$$

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}$$

$$\int \frac{dx}{x\sqrt{9-x^2}}$$

$$\int \frac{dx}{(x^2+9{)}^{3/2}}$$

$$\int \frac{dx}{(1-x^2{)}^{3/2}}$$

$$\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2+16}}$$

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