Integral resuelta paso a paso

Integral de 1/(x√(9 − x²))

Resolvemos ∫ 1/(x√(9 − x²)) dx —la integral de 1/(x√(9 − x²))— paso a paso . Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Patrón √(a²−x²) con a=3.

   $$x=3\mathrm{sen}\theta ,\sqrt{9-x^2}=3\cos \theta$$
2. 2

   Sustituye.

   $$\int \frac{3\cos \theta }{3\mathrm{sen}\theta \cdot 3\cos \theta }d\theta =\frac{1}{3}\int \csc \theta d\theta$$
3. 3

   Integra la cosecante.

   $$\frac{1}{3}\ln \left|\mathrm{tg}\frac{\theta }{2}\right|$$
4. 4

   Vuelve con el triángulo.

   $$-\frac{1}{3}\ln \left|\frac{3+\sqrt{9-x^2}}{x}\right|$$

Por tanto, la integral de 1/(x√(9 − x²)) es -1/3 ln|(3 + √(9 − x²))/x|+C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar 1/(x√(9 − x²)).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? √(a²−x²) con a=3 y x en el denominador: el cambio deja (1/3)∫csc θ, cuya primitiva es ln|tg(θ/2)|, que luego se pasa a x con el triángulo.

Error típico. Olvidar la primitiva de la cosecante o no volver a x: el resultado debe quedar en función de x.

Más integrales de sustitución trigonométrica

$$\int \frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}dx$$

$$\int \frac{dx}{(1-x^2{)}^{3/2}}$$

$$\int \frac{\sqrt{9-x^2}}{x^2}dx$$

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}$$

$$\int \sqrt{4-x^2}dx$$

$$\int \frac{x^2}{\sqrt{9-x^2}}dx$$

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