Integral resuelta paso a paso

Integral de 1/(x² + 2x + 2)²

Resolvemos ∫ 1/(x² + 2x + 2)² dx —la integral de 1/(x² + 2x + 2)²— paso a paso . Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Completa cuadrados.

   $$x^2+2x+2=(x+1{)}^2+1$$
2. 2

   Cambio u=x+1: es la integral de reducción ∫du/(u²+1)².

   $$\int \frac{du}{(u^2+1{)}^2}$$
3. 3

   Su valor conocido.

   $$\frac{\arctan u}{2}+\frac{u}{2(u^2+1)}$$
4. 4

   Deshaz el cambio.

   $$\frac{x+1}{2(x^2+2x+2)}+\frac{1}{2}\arctan (x+1)$$

Por tanto, la integral de 1/(x² + 2x + 2)² es (x + 1)/(2(x² + 2x + 2)) + 1/2 arctg(x + 1) + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar 1/(x² + 2x + 2)².

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? Se completa cuadrados a (x+1)²+1 y queda la integral de reducción ∫du/(u²+1)², cuyo valor se conoce.

Error típico. Intentar fracciones parciales sobre (x²+2x+2)²: como el trinomio es irreducible, hay que completar cuadrados y usar la reducción.

Más integrales de sustitución trigonométrica

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+3x+2}}$$

$$\int \sqrt{2x-x^2}dx$$

$$\int \frac{2x-1}{\sqrt{4x-x^2}}dx$$

$$\int \frac{dx}{(x^2-2x+2{)}^{3/2}}$$

$$\int \frac{xdx}{\sqrt{x^2+6x+13}}$$

$$\int \sqrt{x^2-4x+3}dx$$

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