Integral de x/√(x² + 6x + 13)

\int \frac{x d x}{x ^{2} + 6 x + 13}

Resolvemos ∫ x/√(x² + 6x + 13) dx —la integral de x/√(x² + 6x + 13)— paso a paso . Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

✎ Solución paso a paso

1

Antes de completar cuadrados, mira el numerador: la derivada del radicando es 2x+6. Vamos a fabricarla.

$(x^{2} + 6 x + 13)^{'} = 2 x + 6$
2

Escribe la x en función de esa derivada.

$x = \frac{1}{2} (2 x + 6) - 3$
3

Separa en dos integrales.

$\frac{1}{2} \int \frac{( 2 x + 6 ) d x}{x ^{2} + 6 x + 13} - 3 \int \frac{d x}{x ^{2} + 6 x + 13}$
4

La primera es del tipo f'/√f: sale sola.

$x^{2} + 6 x + 13$
5

La segunda: completa cuadrados (x+3)²+4 y aplica el logaritmo.

$- 3 ln (x + 3 + x^{2} + 6 x + 13)$

Resultado

x^{2} + 6 x + 13 - 3 ln (x + 3 + x^{2} + 6 x + 13) + C

Por tanto, la integral de x/√(x² + 6x + 13) es √(x² + 6x + 13) − 3 ln(x + 3 + √(x² + 6x + 13)) + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar x/√(x² + 6x + 13).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? El patrón «partir el numerador»: escribes la x como media derivada del radicando más una constante, así una parte es f'/√f (inmediata) y la otra el logaritmo de completar cuadrados.

Error típico. Completar cuadrados sin partir antes el numerador: la x de arriba hay que descomponerla en la derivada del radicando más una constante.

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