Integral resuelta paso a paso

Integral de √(x² − 4x + 3)

Resolvemos ∫ √(x² − 4x + 3) dx —la integral de √(x² − 4x + 3)— paso a paso . Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

---

✎ Solución paso a paso

1. 1

   Completa cuadrados.

   $$x^2-4x+3=(x-2{)}^2-1$$
2. 2

   Cambio u=x−2: patrón √(u²−1), secante.

   $$u=x-2$$
3. 3

   Aplica el desarrollo de √(x²−a²) con a=1 (cíclica de sec³θ menos sec θ).

   $$\int \sqrt{u^2-1}du$$
4. 4

   Vuelve a x.

   $$\frac{(x-2)\sqrt{x^2-4x+3}}{2}-\frac{1}{2}\ln \left|x-2+\sqrt{x^2-4x+3}\right|$$

Por tanto, la integral de √(x² − 4x + 3) es ((x − 2)√(x² − 4x + 3))/2 − 1/2 ln|x − 2 + √(x² − 4x + 3)|+C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar √(x² − 4x + 3).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? El trinomio bajo la raíz se completa a (x−2)²−1, que es el patrón √(u²−a²) de la secante con a=1.

Error típico. No centrar con u=x−2 antes de aplicar el patrón, o confundir √(u²−1) (secante) con √(1−u²) (seno).

Más integrales de sustitución trigonométrica

$$\int \frac{xdx}{\sqrt{x^2+6x+13}}$$

$$\int \frac{dx}{(x^2-2x+2{)}^{3/2}}$$

$$\int \frac{\sqrt{x^2-1}}{x^4}dx$$

$$\int \frac{2x-1}{\sqrt{4x-x^2}}dx$$

$$\int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2-9}}$$

$$\int \sqrt{2x-x^2}dx$$

← Volver a sustitución trigonométrica