Integral resuelta paso a paso

Integral de √(2x − x²)

Resolvemos ∫ √(2x − x²) dx —la integral de √(2x − x²)— paso a paso . Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Completa cuadrados.

   $$2x-x^2=1-(x-1{)}^2$$
2. 2

   Cambio u=x−1: patrón √(1−u²).

   $$u=x-1$$
3. 3

   Aplica el desarrollo de √(1−x²): (arcsen u)/2 + u√(1−u²)/2.

   $$\frac{\arcsin u}{2}+\frac{u\sqrt{1-u^2}}{2}$$
4. 4

   Deshaz el cambio.

   $$\frac{(x-1)\sqrt{2x-x^2}}{2}+\frac{\arcsin (x-1)}{2}$$

Por tanto, la integral de √(2x − x²) es ((x − 1)√(2x − x²))/2 + arcsen(x − 1)/2 + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar √(2x − x²).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? Tras completar cuadrados queda 1−(x−1)², el patrón del seno. Entre 0 y 2 vale π/2: el semicírculo de radio 1 centrado en x=1.

Error típico. No centrar con u=x−1, o confundir el patrón con el de la secante.

Más integrales de sustitución trigonométrica

$$\int \frac{2x-1}{\sqrt{4x-x^2}}dx$$

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+3x+2}}$$

$$\int \frac{dx}{(x^2-2x+2{)}^{3/2}}$$

$$\int \frac{xdx}{\sqrt{x^2+6x+13}}$$

$$\int \sqrt{x^2-4x+3}dx$$

$$\int \frac{dx}{(x^2+2x+2{)}^2}$$

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