Integral resuelta paso a paso

Integral de (2x − 1)/√(4x − x²)

Resolvemos ∫ (2x − 1)/√(4x − x²) dx —la integral de (2x − 1)/√(4x − x²)— paso a paso . Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Completa cuadrados en el radicando.

   $$4x-x^2=4-(x-2{)}^2$$
2. 2

   La derivada del radicando es 4−2x. Escribe el numerador en función de ella.

   $$2x-1=-(4-2x)+3$$
3. 3

   Separa.

   $$-\int \frac{(4-2x)dx}{\sqrt{4x-x^2}}+3\int \frac{dx}{\sqrt{4x-x^2}}$$
4. 4

   La primera es f'/√f.

   $$-2\sqrt{4x-x^2}$$
5. 5

   La segunda es un arcoseno con a=2, u=x−2.

   $$3\arcsin \frac{x-2}{2}$$

Por tanto, la integral de (2x − 1)/√(4x − x²) es -2√(4x − x²) + 3 arcsen(x − 2)/2 + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar (2x − 1)/√(4x − x²).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? Combina «partir el numerador» con completar cuadrados: una parte es f'/√f y la otra un arcoseno tras reducir el radicando a 4−(x−2)².

Error típico. No descomponer el numerador en la derivada del radicando más una constante antes de integrar.

Más integrales de sustitución trigonométrica

$$\int \frac{dx}{(x^2-2x+2{)}^{3/2}}$$

$$\int \sqrt{2x-x^2}dx$$

$$\int \frac{xdx}{\sqrt{x^2+6x+13}}$$

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+3x+2}}$$

$$\int \sqrt{x^2-4x+3}dx$$

$$\int \frac{dx}{(x^2+2x+2{)}^2}$$

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