Integral resuelta paso a paso

Integral de 1/(x² − 2x + 2)^(3/2)

Resolvemos ∫ 1/(x² − 2x + 2)^(3/2) dx —la integral de 1/(x² − 2x + 2)^(3/2)— paso a paso . Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Completa cuadrados.

   $$x^2-2x+2=(x-1{)}^2+1$$
2. 2

   Cambio u=x−1.

   $$\int \frac{du}{(u^2+1{)}^{3/2}}$$
3. 3

   Cambio de tangente u=tg θ.

   $$\int \frac{{\sec }^2\theta }{{\sec }^3\theta }d\theta =\int \cos \theta d\theta =\mathrm{sen}\theta$$
4. 4

   Vuelve con el triángulo.

   $$\mathrm{sen}\theta =\frac{u}{\sqrt{u^2+1}}$$

Por tanto, la integral de 1/(x² − 2x + 2)^(3/2) es (x − 1)/√(x² − 2x + 2) + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar 1/(x² − 2x + 2)^(3/2).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? Se completa cuadrados a (x−1)²+1 y luego se aplica el cambio de tangente: la potencia 3/2 deja ∫cos θ, inmediata.

Error típico. No centrar con u=x−1 antes del cambio de tangente.

Más integrales de sustitución trigonométrica

$$\int \frac{xdx}{\sqrt{x^2+6x+13}}$$

$$\int \frac{2x-1}{\sqrt{4x-x^2}}dx$$

$$\int \sqrt{x^2-4x+3}dx$$

$$\int \sqrt{2x-x^2}dx$$

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+3x+2}}$$

$$\int \frac{\sqrt{x^2-1}}{x^4}dx$$

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