Integral de 1/(x + √(x² + x + 1))

\int \frac{d x}{x + x ^{2} + x + 1}

Resolvemos ∫ 1/(x + √(x² + x + 1)) dx —la integral de 1/(x + √(x² + x + 1))— paso a paso . Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

✎ Solución paso a paso

1

Ni la tabla ni el mcm sirven: toca la primera sustitución de Euler (coef de x² positivo).

$x^{2} + x + 1 = t - x$
2

Eleva al cuadrado para despejar x.

$x = \frac{t ^{2} - 1}{2 t + 1}$
3

Halla dx derivando el cociente.

$d x = \frac{2 ( t ^{2} + t + 1 )}{( 2 t + 1 ) ^{2}} d t$
4

El denominador de la integral se vuelve simplemente t (ese es el motivo del cambio).

$x + x^{2} + x + 1 = t$
5

Sustituye: queda racional, y se resuelve por parciales (raíz doble en t=−1/2) deshaciendo con t=x+√(x²+x+1).

$\int \frac{2 ( t ^{2} + t + 1 )}{t ( 2 t + 1 ) ^{2}} d t$

Resultado

Se reduce a una integral racional en t = x + x^{2} + x + 1 (fracciones parciales).

Por tanto, la integral de 1/(x + √(x² + x + 1)) es Se reduce a una integral racional en t=x + √(x² + x + 1) (fracciones parciales).. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar 1/(x + √(x² + x + 1)).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? Cuando el coeficiente de x² es positivo y no hay patrón, la sustitución de Euler √(x²+x+1)=t−x racionaliza: el denominador se vuelve t y la integral pasa a ser una función racional.

Error típico. Buscar un patrón de la tabla o un mcm que aquí no existen. Euler es el método específico para √(polinomio de grado 2) sin raíces reales cómodas.

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