Integral resuelta paso a paso

Integral de x³/√(1 + x²)

Resolvemos ∫ x³/√(1 + x²) dx —la integral de x³/√(1 + x²)— paso a paso . Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

---

✎ Solución paso a paso

1. 1

   Potencia impar de x: cambio algebraico, no trigonométrico.

   $$u=1+x^2,du=2xdx,x^2=u-1$$
2. 2

   Separa una x y sustituye.

   $$\int \frac{x^2\cdot xdx}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{1}{2}\int \frac{u-1}{\sqrt{u}}du$$
3. 3

   Reparte.

   $$=\frac{1}{2}\int (u^{1/2}-u^{-1/2})du$$
4. 4

   Integra.

   $$\frac{u^{3/2}}{3}-\sqrt{u}$$

Por tanto, la integral de x³/√(1 + x²) es ((1 + x²)^(3/2))/3 − √(1 + x²) + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar x³/√(1 + x²).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? La potencia de x es impar (x³): el cambio algebraico u=1+x² es más corto que x=tg θ. Separas una x para el du y el resto sale en potencias.

Error típico. Aplicar x=tg θ por defecto. Con potencia impar de x, el cambio algebraico evita la trigonometría.

Más integrales de racionalización

$$\int \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}dx$$

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x+1}-\sqrt[3]{x+1}}$$

$$\int \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}dx$$

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x}+x^{3/4}}$$

$$\int \frac{dx}{\sqrt[4]{x}+\sqrt{x}}$$

$$\int \frac{\sqrt[3]{x}}{1+\sqrt{x}}dx$$

← Volver a racionalización