Integral resuelta paso a paso

Integral de √(x + 1)/(∛(x + 1) + 1)

Resolvemos ∫ √(x + 1)/(∛(x + 1) + 1) dx —la integral de √(x + 1)/(∛(x + 1) + 1)— paso a paso . Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Las raíces son de (x+1), no de x: cambia el bloque entero.

   $$x+1=t^6,dx=6t^{5}dt$$
2. 2

   Sustituye.

   $$\sqrt{x+1}=t^3,\sqrt[3]{x+1}=t^2\Rightarrow 6\int \frac{t^8}{t^2+1}dt$$
3. 3

   Impropia: divide t⁸ entre t²+1.

   $$\frac{t^8}{t^2+1}=t^6-t^4+t^2-1+\frac{1}{t^2+1}$$
4. 4

   Integra los cinco términos (t=⁶√(x+1)).

   $$6\left(\frac{t^7}{7}-\frac{t^5}{5}+\frac{t^3}{3}-t+\arctan t\right)$$

Por tanto, la integral de √(x + 1)/(∛(x + 1) + 1) es 6(t⁷/7 − t⁵/5 + t³/3 − t + arctg t) + C, t=ⁿ√(x + 1). Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar √(x + 1)/(∛(x + 1) + 1).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? Como las raíces son de (x+1), se cambia el bloque x+1=t⁶ (mcm de 2 y 3). Queda una racional impropia que se divide, con arcotangente al final.

Error típico. Cambiar x=t⁶ en vez de x+1=t⁶: las raíces son del binomio, así que el cambio va sobre x+1.

Más integrales de racionalización

$$\int \frac{1}{x}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}dx$$

$$\int \frac{\sqrt[3]{1+\sqrt[4]{x}}}{\sqrt{x}}dx$$

$$\int \frac{dx}{x+\sqrt{x^2+x+1}}$$

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x+1}-\sqrt[3]{x+1}}$$

$$\int \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}dx$$

$$\int \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}dx$$

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