Integral resuelta paso a paso

Integral de x²/√(x³ + 1)

Resolvemos ∫ x²/√(x³ + 1) dx —la integral de x²/√(x³ + 1)— paso a paso por sustitución (cambio de variable). Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   El término dentro de la raíz tiene grado 3, y fuera grado 2. Hacemos u igual al radicando.

   $$u=x^3+1⟹du=3x^{2}dx⟹\frac{du}{3}=x^{2}dx$$
2. 2

   Sustituimos.

   $$\int \frac{1}{\sqrt{u}}\frac{du}{3}=\frac{1}{3}\int u^{-1/2}du$$
3. 3

   Integramos.

   $$\frac{1}{3}\frac{u^{1/2}}{1/2}=\frac{2}{3}\sqrt{u}+C$$
4. 4

   Deshacemos la sustitución.

   $$\frac{2}{3}\sqrt{x^3+1}+C$$

Por tanto, la integral de x²/√(x³ + 1) es 2/3 √(x³ + 1) + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar x²/√(x³ + 1).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre la sustitución (cambio de variable)

¿Por qué este método? x² es (salvo constante) el du de u=x³+1: la raíz del denominador se integra directa.

Error típico. Olvidar el factor 1/3 del du.

Teoría: Cambio de variable →

Más integrales de sustitución

$$\int \frac{\sqrt{\ln (x)}}{x}dx$$

$$\int \cos (x)e^{2\sin (x)}dx$$

$$\int \frac{x}{(x^2+3{)}^4}dx$$

$$\int x^2{e}^{-x^3}dx$$

$$\int \frac{1}{\sqrt{x}(1+\sqrt{x}{)}^2}dx$$

$$\int \frac{\sin (1/x)}{x^2}dx$$

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