Integral resuelta paso a paso

Integral de 1/(2sen x − cos x + 5)

Resolvemos ∫ 1/(2sen x − cos x + 5) dx —la integral de 1/(2sen x − cos x + 5)— paso a paso con identidades trigonométricas. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Weierstrass t=tg(x/2): el denominador queda (6t²+4t+4)/(1+t²).

   $$\int \frac{2dt}{6t^2+4t+4}$$
2. 2

   Completa cuadrados en el denominador → arcotangente.

   $$\int \frac{dt}{3t^2+2t+2}$$

Por tanto, la integral de 1/(2sen x − cos x + 5) es 1/√5 arctg((3 tgx/2 + 1)/√5) + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar 1/(2sen x − cos x + 5).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre las integrales trigonométricas

¿Por qué este método? Con seno, coseno y constante mezclados, Weierstrass t=tg(x/2) lo vuelve racional; completar cuadrados da un arcotangente.

Error típico. No completar cuadrados en el denominador tras Weierstrass.

Teoría: Trigonométricas →

Más integrales de trigonométricas

$$\int \frac{dx}{{\mathrm{sen}}^{2023}x+{\cos }^{2023}x}$$

$$\int \frac{dx}{\cos x-\mathrm{sen}x}$$

$$\int \frac{\cos xdx}{{\mathrm{sen}}^{2}x-\mathrm{sen}x-2}$$

$$\int \frac{dx}{5+4\cos x}$$

$$\int \frac{dx}{3\mathrm{sen}x-4\cos x+5}$$

$$\int \frac{1-\mathrm{sen}x}{1+\cos x}dx$$

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