Integral resuelta paso a paso

Integral de 1/(x²√(4 − x²))

Resolvemos ∫ 1/(x²√(4 − x²)) dx —la integral de 1/(x²√(4 − x²))— paso a paso . Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Patrón √(a²−x²) con a=2: cambio de seno.

   $$x=2\mathrm{sen}\theta ,dx=2\cos \theta d\theta$$
2. 2

   Simplifica la raíz.

   $$\sqrt{4-4{\mathrm{sen}}^2\theta }=2\cos \theta$$
3. 3

   Sustituye todo.

   $$\int \frac{2\cos \theta d\theta }{4{\mathrm{sen}}^2\theta \cdot 2\cos \theta }$$
4. 4

   Cancela los cosenos y simplifica los números.

   $$\frac{1}{4}\int {\csc }^2\theta d\theta$$
5. 5

   Integra.

   $$-\frac{\cot \theta }{4}$$
6. 6

   Vuelve con el triángulo (sen θ=x/2): cot θ=√(4−x²)/x.

   $$-\frac{\sqrt{4-x^2}}{4x}$$

Por tanto, la integral de 1/(x²√(4 − x²)) es -√(4 − x²)/(4x) + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar 1/(x²√(4 − x²)).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? Patrón √(a²−x²) con a=2: el cambio x=2sen θ convierte la raíz en 2cos θ, se cancela con el dx y queda ∫csc²θ, inmediata.

Error típico. Equivocar cot θ al volver: con sen θ=x/2, el cateto contiguo es √(4−x²) y el opuesto x, así que cot θ=√(4−x²)/x.

Más integrales de sustitución trigonométrica

$$\int \sqrt{1-x^2}dx$$

$$\int \frac{x^2}{\sqrt{9-x^2}}dx$$

$$\int \sqrt{4-x^2}dx$$

$$\int \frac{dx}{(1-x^2{)}^{3/2}}$$

$$\int \frac{dx}{x\sqrt{9-x^2}}$$

$$\int \frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}dx$$

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