Integral resuelta paso a paso

Integral de x³√(1 − x²)

Resolvemos ∫ x³√(1 − x²) dx —la integral de x³√(1 − x²)— paso a paso . Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

---

✎ Solución paso a paso

1. 1

   Antes de aplicar la tabla, mira la potencia de x: es impar (x³). Ahí el cambio algebraico es más corto.

   $$x^3\sqrt{1-x^2}$$
2. 2

   Separa una x para el du.

   $$x^2\cdot \sqrt{1-x^2}\cdot x$$
3. 3

   Cambio u=1−x², du=−2x dx, y x²=1−u.

   $$xdx=-\frac{du}{2}$$
4. 4

   Sustituye.

   $$-\frac{1}{2}\int (1-u)\sqrt{u}du$$
5. 5

   Reparte en potencias.

   $$=-\frac{1}{2}\int (u^{1/2}-u^{3/2})du$$
6. 6

   Integra.

   $$-\frac{u^{3/2}}{3}+\frac{u^{5/2}}{5}$$

Por tanto, la integral de x³√(1 − x²) es -((1 − x²)^(3/2))/3 + ((1 − x²)^(5/2))/5 + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar x³√(1 − x²).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? La tabla trigonométrica no es obligatoria cada vez que hay una raíz. Como la potencia de x es impar (x³), el cambio algebraico u=1−x² gana: separas una x para el du y el resto sale en potencias.

Error típico. Lanzarse a x=sen θ por costumbre. Con potencia impar de x, el cambio algebraico es mucho más rápido.

Más integrales de sustitución trigonométrica

$$\int \frac{x^3}{\sqrt{x^2-16}}dx$$

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+2x+5}}$$

$$\int \frac{dx}{\sqrt{3-2x-x^2}}$$

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+4x}}$$

$$\int \frac{dx}{(1-x^2{)}^{3/2}}$$

$$\int \frac{dx}{x\sqrt{9-x^2}}$$

← Volver a sustitución trigonométrica