Integral resuelta paso a paso

Integral de x²/√(9 − x²)

Resolvemos ∫ x²/√(9 − x²) dx —la integral de x²/√(9 − x²)— paso a paso . Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Patrón √(a²−x²) con a=3.

   $$x=3\mathrm{sen}\theta ,dx=3\cos \theta d\theta ,\sqrt{9-x^2}=3\cos \theta$$
2. 2

   Sustituye.

   $$\int \frac{9{\mathrm{sen}}^2\theta \cdot 3\cos \theta }{3\cos \theta }d\theta =9\int {\mathrm{sen}}^2\theta d\theta$$
3. 3

   Baja el ángulo.

   $$\frac{9\theta }{2}-\frac{9\mathrm{sen}2\theta }{4}$$
4. 4

   Desdobla y prepara la vuelta.

   $$\mathrm{sen}2\theta =2\cdot \frac{x}{3}\cdot \frac{\sqrt{9-x^2}}{3}=\frac{2x\sqrt{9-x^2}}{9}$$
5. 5

   Sustituye con el triángulo.

   $$\frac{9}{2}\arcsin \frac{x}{3}-\frac{x\sqrt{9-x^2}}{2}$$

Por tanto, la integral de x²/√(9 − x²) es 9/2 arcsinx/3 − (x√(9 − x²))/2 + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar x²/√(9 − x²).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? Con a=3, x=3sen θ deja √(9−x²)=3cos θ y la integral se reduce a 9∫sen²θ, que se baja el ángulo. Después se vuelve a x con el triángulo.

Error típico. Olvidar desdoblar sen 2θ=2 sen θ cos θ antes de volver a x: sin ese paso no puedes sustituir el triángulo.

Más integrales de sustitución trigonométrica

$$\int \frac{dx}{x^2\sqrt{4-x^2}}$$

$$\int \sqrt{4-x^2}dx$$

$$\int \sqrt{1-x^2}dx$$

$$\int \frac{dx}{(1-x^2{)}^{3/2}}$$

$$\int \frac{dx}{x\sqrt{9-x^2}}$$

$$\int \frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}dx$$

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