Integral impropia resuelta paso a paso

Integral impropia de 1/(1 + x²) en toda la recta

Resolvemos integral impropia de 1/(1 + x²) en toda la recta paso a paso. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Hay DOS límites infinitos: hay que partir por un punto cualquiera, por ejemplo 0.

   $${\int }_{-\infty }^0+{\int }_0^{\infty }$$
2. 2

   Cada trozo con su propio límite.

   $$\underset{s\to -\infty }{\lim }{\left[\arctan x\right]}_s^0+\underset{t\to \infty }{\lim }{\left[\arctan x\right]}_0^t$$
3. 3

   Evalúa cada uno.

   $$\left(0+\frac{\pi }{2}\right)+\left(\frac{\pi }{2}-0\right)=\pi$$

Por tanto, el resultado de integral impropia de 1/(1 + x²) en toda la recta es π (converge).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? Con dos infinitos hay que partir por un punto y poner un límite en cada trozo.

Error típico. Hacer un solo límite ∫₋ₜᵗ: eso es el valor principal de Cauchy y puede dar finito aunque la integral diverja. Hay que partir siempre.

Más integrales de impropias

$${\int }_0^{\infty }x{e}^{-x^2}dx$$

$${\int }_2^{\infty }\frac{dx}{x{\ln }^{2}x}$$

$${\int }_1^{\infty }\frac{dx}{x}$$

$${\int }_1^{\infty }\frac{dx}{x^3+1}$$

$${\int }_1^{\infty }\frac{dx}{x^2}$$

$${\int }_1^{\infty }\frac{e^{-x}}{x}dx$$

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