Integral definida resuelta paso a paso

Integral definida de x entre 0 y 1

Resolvemos integral definida de x entre 0 y 1 paso a paso. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado y la explicación en vídeo.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Parte [0,1] en n trozos iguales: cada uno mide Δx=1/n.

   $$\Delta x=\frac{1-0}{n}=\frac{1}{n}$$
2. 2

   Localiza el punto derecho de cada trozo.

   $$x_k=\frac{k}{n}$$
3. 3

   Monta la suma de las áreas de los rectángulos (altura x_k, base Δx).

   $$S_n=\sum _{k=1}^n\frac{k}{n}\cdot \frac{1}{n}=\frac{1}{n^2}\sum _{k=1}^{n}k$$
4. 4

   Usa la fórmula de la suma de los n primeros naturales.

   $$\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$$
5. 5

   Sustituye y simplifica.

   $$S_n=\frac{1}{n^2}\cdot \frac{n(n+1)}{2}=\frac{n+1}{2n}$$
6. 6

   Toma el límite cuando n→∞. Barrow lo confirma: [x²/2]₀¹=1/2.

   $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n+1}{2n}=\frac{1}{2}$$

Por tanto, el resultado de integral definida de x entre 0 y 1 es 1/2.

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? Esta ficha justifica todo el bloque: Barrow no es magia, es el atajo de esta suma infinita de rectángulos. La definición de integral es el límite de las sumas de Riemann.

Error típico. Olvidar tomar el límite n→∞, o usar mal la fórmula Σk=n(n+1)/2.

▶ Explicación en vídeo

Te explico esta integral paso a paso en vídeo. Del canal de YouTube DVC Profe.

Ver en YouTube (en el minuto exacto) →

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$${\int }_0^2{x}^{2}dx$$

$${\int }_0^1(2x+1)dx$$

$${\int }_{-1}^3|x|dx$$

$${\int }_0^3|x-1|dx$$

$${\int }_0^{2}f(x)dx,f(x)=\{\begin{array}{ll}x& x<1\\ 2-x& x\ge 1\end{array}$$

$${\int }_0^{\pi }|\cos x|dx$$

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