Integral de x⁵ (x³ + 2)^(1/2)

\int x^{5} (x^{3} + 2)^{1/2} d x

Resolvemos ∫ x⁵ (x³ + 2)^(1/2) dx —la integral de x⁵ (x³ + 2)^(1/2)— paso a paso por sustitución (cambio de variable). Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado y la explicación en vídeo.

✎ Solución paso a paso

1

$x^{3} = u - 2, x^{2} d x = \frac{d u}{3}$
2

$= \frac{1}{3} \int (u - 2) u d u$
3

$= \frac{1}{3} \int (u^{3/2} - 2 u^{1/2}) d u$
4

$= \frac{2}{15} u^{5/2} - \frac{4}{9} u^{3/2}$

Resultado

\frac{2}{15} (x^{3} + 2)^{5/2} - \frac{4}{9} (x^{3} + 2)^{3/2} + C

Por tanto, la integral de x⁵ (x³ + 2)^(1/2) es 2/15(x³ + 2)^(5/2) − 4/9(x³ + 2)^(3/2) + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar x⁵ (x³ + 2)^(1/2).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre la sustitución (cambio de variable)

¿Por qué este método? Potencia impar en x: u=x³+2 (x³=u−2) separa un x² para el du.

Error típico. No separar el x² que hace de du de x³+2.

Teoría: Cambio de variable →

▶ Explicación en vídeo

Te explico esta integral paso a paso en vídeo. Del canal de YouTube DVC Profe.

Ver en YouTube →

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