Integral de x³/√(1 + x²)

\int \frac{x ^{3}}{1 + x ^{2}} d x

Resolvemos ∫ x³/√(1 + x²) dx —la integral de x³/√(1 + x²)— paso a paso por sustitución (cambio de variable). Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado y la explicación en vídeo.

✎ Solución paso a paso

1

$x^{2} = u - 1, x d x = \frac{d u}{2}$
2

$= \frac{1}{2} \int \frac{u - 1}{u} d u$
3

$= \frac{1}{2} \int (u^{1/2} - u^{- 1/2}) d u$
4

$= \frac{1}{3} u^{3/2} - u^{1/2}$

Resultado

\frac{1}{3} (1 + x^{2})^{3/2} - 1 + x^{2} + C

Por tanto, la integral de x³/√(1 + x²) es 1/3(1 + x²)^(3/2) − √(1 + x²) + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar x³/√(1 + x²).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre la sustitución (cambio de variable)

¿Por qué este método? Potencia impar de x: u=1+x² (x²=u−1) separa una x para el du de la raíz.

Error típico. Usar x=tg θ cuando el cambio algebraico gana.

Teoría: Cambio de variable →

▶ Explicación en vídeo

Te explico esta integral paso a paso en vídeo. Del canal de YouTube DVC Profe.

Ver en YouTube →

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