Integral resuelta paso a paso

Integral de x/(x² + 3)⁴

Resolvemos ∫ x/(x² + 3)⁴ dx —la integral de x/(x² + 3)⁴— paso a paso por sustitución (cambio de variable). Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Identificamos la función interna y su derivada casi exacta fuera. Hacemos el cambio u = x^2 + 3.

   $$u=x^2+3⟹du=2xdx⟹\frac{du}{2}=xdx$$
2. 2

   Sustituimos en la integral.

   $$\int \frac{1}{u^4}\frac{du}{2}=\frac{1}{2}\int u^{-4}du$$
3. 3

   Integramos usando la regla de la potencia.

   $$\frac{1}{2}\frac{u^{-3}}{-3}=-\frac{1}{6u^3}+C$$
4. 4

   Deshacemos el cambio de variable.

   $$-\frac{1}{6(x^2+3{)}^3}+C$$

Por tanto, la integral de x/(x² + 3)⁴ es -1/(6(x² + 3)³) + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar x/(x² + 3)⁴.

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre la sustitución (cambio de variable)

¿Por qué este método? Aparece x²+3 y su derivada 2x (salvo constante): el cambio u=x²+3 vuelve inmediata la potencia del denominador.

Error típico. Olvidar el factor 1/2 que compensa el 2x del du.

Teoría: Cambio de variable →

Más integrales de sustitución

$$\int \cos (x)e^{2\sin (x)}dx$$

$$\int \frac{\sqrt{\ln (x)}}{x}dx$$

$$\int \frac{x^2}{\sqrt{x^3+1}}dx$$

$$\int x^2{e}^{-x^3}dx$$

$$\int \frac{1}{\sqrt{x}(1+\sqrt{x}{)}^2}dx$$

$$\int \frac{\sin (1/x)}{x^2}dx$$

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