Integral resuelta paso a paso

Integral de 1/√(3 − 2x − x²)

Resolvemos ∫ 1/√(3 − 2x − x²) dx —la integral de 1/√(3 − 2x − x²)— paso a paso . Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Saca el signo menos del x² antes de completar.

   $$3-2x-x^2=3-(x^2+2x)$$
2. 2

   Completa cuadrados dentro del paréntesis.

   $$x^2+2x=(x+1{)}^2-1$$
3. 3

   Sustituye.

   $$3-[(x+1{)}^2-1]=4-(x+1{)}^2$$
4. 4

   Es el patrón √(a²−u²) con a=2, u=x+1.

   $$\int \frac{du}{\sqrt{4-u^2}}=\arcsin \frac{u}{2}$$
5. 5

   Deshaz el cambio.

   $$\arcsin \frac{x+1}{2}$$

Por tanto, la integral de 1/√(3 − 2x − x²) es arcsen(x + 1)/2 + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar 1/√(3 − 2x − x²).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? Con el x² negativo, se saca el menos y se completa cuadrados: queda 4−(x+1)², el patrón del arcoseno.

Error típico. Olvidar el signo al sacar el menos y escribir (x+1)²+4 en vez de 4−(x+1)²: eso cambia el arcoseno por un logaritmo.

Más integrales de sustitución trigonométrica

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+2x+5}}$$

$$\int \frac{x^3}{\sqrt{x^2-16}}dx$$

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+4x}}$$

$$\int x^3\sqrt{1-x^2}dx$$

$$\int \sqrt{x^2-4x+3}dx$$

$$\int \frac{\sqrt{x^2-1}}{x^4}dx$$

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