Integral resuelta paso a paso

Integral de √(x² − 1)/x⁴

Resolvemos ∫ √(x² − 1)/x⁴ dx —la integral de √(x² − 1)/x⁴— paso a paso . Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Patrón √(x²−a²) con a=1.

   $$x=\sec \theta$$
2. 2

   Sustituye y pasa a senos y cosenos.

   $$\int \frac{\mathrm{tg}\theta \cdot \sec \theta \mathrm{tg}\theta }{{\sec }^4\theta }d\theta =\int {\mathrm{sen}}^2\theta \cos \theta d\theta$$
3. 3

   Cambio u=sen θ.

   $$\frac{{\mathrm{sen}}^3\theta }{3}$$
4. 4

   Vuelve con el triángulo.

   $$\frac{(x^2-1{)}^{3/2}}{3x^3}$$

Por tanto, la integral de √(x² − 1)/x⁴ es ((x² − 1)^(3/2))/(3x³) + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar √(x² − 1)/x⁴.

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? √(x²−a²) con a=1 y x⁴ abajo: en senos y cosenos queda sen²θ cos θ, un cambio directo u=sen θ.

Error típico. Quedarse en secantes y tangentes. Pasar a senos y cosenos deja sen²θ cos θ, inmediato.

Más integrales de sustitución trigonométrica

$$\int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2-9}}$$

$$\int \frac{dx}{(x^2-25{)}^{3/2}}$$

$$\int \sqrt{x^2-4x+3}dx$$

$$\int \frac{dx}{x^3\sqrt{x^2-1}}$$

$$\int \frac{xdx}{\sqrt{x^2+6x+13}}$$

$$\int \frac{\sqrt{x^2-4}}{x}dx$$

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