Integral resuelta paso a paso

Integral de 1/(x²√(x² − 9))

Resolvemos ∫ 1/(x²√(x² − 9)) dx —la integral de 1/(x²√(x² − 9))— paso a paso . Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Patrón √(x²−a²) con a=3.

   $$x=3\sec \theta$$
2. 2

   Sustituye.

   $$\int \frac{3\sec \theta \mathrm{tg}\theta }{9{\sec }^2\theta \cdot 3\mathrm{tg}\theta }d\theta =\frac{1}{9}\int \cos \theta d\theta$$
3. 3

   Integra.

   $$\frac{\mathrm{sen}\theta }{9}$$
4. 4

   Vuelve con el triángulo (sen θ=√(x²−9)/x).

   $$\frac{\sqrt{x^2-9}}{9x}$$

Por tanto, la integral de 1/(x²√(x² − 9)) es √(x² − 9)/(9x) + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar 1/(x²√(x² − 9)).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? √(x²−a²) con a=3 y x² abajo: la integral se simplifica a (1/9)∫cos θ, inmediata.

Error típico. No simplificar los factores tras el cambio: la integral es solo un coseno.

Más integrales de sustitución trigonométrica

$$\int \frac{dx}{(x^2-25{)}^{3/2}}$$

$$\int \frac{\sqrt{x^2-1}}{x^4}dx$$

$$\int \frac{dx}{x^3\sqrt{x^2-1}}$$

$$\int \frac{\sqrt{x^2-4}}{x}dx$$

$$\int \sqrt{x^2-4x+3}dx$$

$$\int \frac{xdx}{\sqrt{x^2+6x+13}}$$

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