Integral resuelta paso a paso

Integral de 1/(x³√(x² − 1))

Resolvemos ∫ 1/(x³√(x² − 1)) dx —la integral de 1/(x³√(x² − 1))— paso a paso . Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Patrón √(x²−a²) con a=1.

   $$x=\sec \theta$$
2. 2

   Sustituye.

   $$\int \frac{\sec \theta \mathrm{tg}\theta }{{\sec }^3\theta \mathrm{tg}\theta }d\theta =\int {\cos }^2\theta d\theta$$
3. 3

   Baja el ángulo.

   $$\frac{\theta }{2}+\frac{\mathrm{sen}2\theta }{4}$$
4. 4

   Desdobla y vuelve con el triángulo (sen θ=√(x²−1)/x, cos θ=1/x).

   $$\frac{1}{2}\mathrm{arcsec}x+\frac{\sqrt{x^2-1}}{2x^2}$$

Por tanto, la integral de 1/(x³√(x² − 1)) es 1/2 arcsec x + √(x² − 1)/(2x²) + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar 1/(x³√(x² − 1)).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? √(x²−a²) con a=1 y x³ abajo: la integral se simplifica a ∫cos²θ, que se baja el ángulo y se vuelve a x con el triángulo.

Error típico. No simplificar sec θ tg θ/(sec³θ tg θ)=cos²θ antes de integrar.

Más integrales de sustitución trigonométrica

$$\int \frac{\sqrt{x^2-4}}{x}dx$$

$$\int \frac{dx}{(x^2-25{)}^{3/2}}$$

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}$$

$$\int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2-9}}$$

$$\int \frac{dx}{(4+x^2{)}^2}$$

$$\int \frac{\sqrt{x^2-1}}{x^4}dx$$

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