Integral resuelta paso a paso

Integral de 1/(x² − 25)^(3/2)

Resolvemos ∫ 1/(x² − 25)^(3/2) dx —la integral de 1/(x² − 25)^(3/2)— paso a paso . Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Patrón √(x²−a²) con a=5 (exponente 3/2).

   $$x=5\sec \theta ,(x^2-25{)}^{3/2}=125{\mathrm{tg}}^3\theta$$
2. 2

   Sustituye.

   $$\int \frac{5\sec \theta \mathrm{tg}\theta }{125{\mathrm{tg}}^3\theta }d\theta =\frac{1}{25}\int \frac{\sec \theta }{{\mathrm{tg}}^2\theta }d\theta$$
3. 3

   Pasa a senos y cosenos.

   $$=\frac{1}{25}\int \frac{\cos \theta }{{\mathrm{sen}}^2\theta }d\theta$$
4. 4

   Cambio u=sen θ.

   $$-\frac{1}{25\mathrm{sen}\theta }$$
5. 5

   Vuelve con el triángulo.

   $$-\frac{x}{25\sqrt{x^2-25}}$$

Por tanto, la integral de 1/(x² − 25)^(3/2) es -x/(25√(x² − 25)) + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar 1/(x² − 25)^(3/2).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? Potencia 3/2 con a=5: x=5sec θ deja (x²−25)^{3/2}=125tg³θ, y en senos y cosenos la integral es cos θ/sen²θ.

Error típico. No pasar a senos y cosenos: sec θ/tg²θ parece difícil pero es cos θ/sen²θ, un cambio directo.

Más integrales de sustitución trigonométrica

$$\int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2-9}}$$

$$\int \frac{dx}{x^3\sqrt{x^2-1}}$$

$$\int \frac{\sqrt{x^2-1}}{x^4}dx$$

$$\int \frac{\sqrt{x^2-4}}{x}dx$$

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}$$

$$\int \sqrt{x^2-4x+3}dx$$

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