Integral resuelta paso a paso

Integral de 1/√(x² + 2x + 5)

Resolvemos ∫ 1/√(x² + 2x + 5) dx —la integral de 1/√(x² + 2x + 5)— paso a paso . Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Completa cuadrados: toma la mitad del coeficiente de x, elévala y ajusta.

   $$x^2+2x+5=(x+1{)}^2+4$$
2. 2

   Cambio para centrar.

   $$u=x+1,du=dx$$
3. 3

   Ahora es el patrón √(u²+a²) con a=2.

   $$\int \frac{du}{\sqrt{u^2+4}}$$
4. 4

   Aplica el logaritmo del tipo tangente.

   $$\ln (u+\sqrt{u^2+4})$$
5. 5

   Deshaz el cambio.

   $$\ln \left(x+1+\sqrt{x^2+2x+5}\right)$$

Por tanto, la integral de 1/√(x² + 2x + 5) es ln(x + 1 + √(x² + 2x + 5)) + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar 1/√(x² + 2x + 5).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? Cuando dentro de la raíz hay un trinomio, primero se completa cuadrados para llevarlo a uno de los tres patrones. Aquí queda (x+1)²+4, el patrón de la tangente.

Error típico. Aplicar la sustitución trigonométrica sin completar cuadrados antes: el trinomio hay que reducirlo a (x+h)²±a² primero.

Más integrales de sustitución trigonométrica

$$\int \frac{dx}{\sqrt{3-2x-x^2}}$$

$$\int \frac{x^3}{\sqrt{x^2-16}}dx$$

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+4x}}$$

$$\int x^3\sqrt{1-x^2}dx$$

$$\int \frac{\sqrt{x^2-1}}{x^4}dx$$

$$\int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2-9}}$$

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