Integral resuelta paso a paso

Integral de √(1 − x²)

Resolvemos ∫ √(1 − x²) dx —la integral de √(1 − x²)— paso a paso . Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado y la explicación en vídeo.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Identifica el patrón √(a²−x²) con a=1. Según la tabla, toca el cambio de seno.

   $$\sqrt{1-x^2}$$
2. 2

   Haz el cambio.

   $$x=\mathrm{sen}\theta ,dx=\cos \theta d\theta$$
3. 3

   Simplifica la raíz (este es el motivo de todo): la raíz desaparece.

   $$\sqrt{1-{\mathrm{sen}}^2\theta }=\cos \theta$$
4. 4

   Sustituye en la integral.

   $$\int \cos \theta \cdot \cos \theta d\theta =\int {\cos }^2\theta d\theta$$
5. 5

   Es una del bloque anterior: baja el ángulo.

   $$\frac{\theta }{2}+\frac{\mathrm{sen}2\theta }{4}$$
6. 6

   Desdobla el ángulo doble para preparar la vuelta.

   $$\mathrm{sen}2\theta =2\mathrm{sen}\theta \cos \theta$$
7. 7

   Dibuja el triángulo (sen θ=x): θ=arcsen x, cos θ=√(1−x²). Sustituye.

   $$\frac{\arcsin x}{2}+\frac{2x\sqrt{1-x^2}}{4}$$

Por tanto, la integral de √(1 − x²) es (arcsen x)/2 + (x√(1 − x²))/2 + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar √(1 − x²).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? El cambio x=sen θ hace que √(1−x²) se convierta en cos θ: la raíz desaparece y queda una integral trigonométrica sencilla. Es el patrón √(a²−x²)→seno.

Error típico. Dejar la respuesta en θ. Hay que volver a x dibujando el triángulo rectángulo; si no, el ejercicio queda a medias.

▶ Explicación en vídeo

Te explico esta integral paso a paso en vídeo. Del canal de YouTube DVC Profe.

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