Integral resuelta paso a paso

Integral de (ln x)³/x

Resolvemos ∫ (ln x)³/x dx —la integral de (ln x)³/x— paso a paso como integral casi inmediata. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado y la explicación en vídeo.

---

✎ Solución paso a paso

1. 1

   Casi inmediata: dentro hay una función y, multiplicando, (salvo una constante) su derivada. Hacemos el cambio de variable u por la función interior.

   $$u=\log \left(x\right)\Rightarrow du=\frac{1}{x}dx$$
2. 2

   Sustituimos: reescribimos la integral entera en términos de u (ajustando la constante que falte).

   $$=\int u^{3}du$$
3. 3

   Integramos en u, que se integra con la regla de la potencia en u:

   $$=\frac{u^4}{4}$$
4. 4

   Deshacemos el cambio de variable (volvemos a x):

   $$=\frac{(\ln x{)}^4}{4}+C$$

Por tanto, la integral de (ln x)³/x es (ln x)⁴/4 + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar (ln x)³/x.

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre las integrales casi inmediatas

¿Por qué este método? 1/x es el du de u=ln x: la potencia (ln x)³ se integra directa.

Error típico. No ver 1/x como la derivada de ln x.

Teoría: Casi inmediatas →

▶ Explicación en vídeo

Te explico esta integral paso a paso en vídeo. Del canal de YouTube DVC Profe.

Ver en YouTube →

Más integrales de casi inmediatas

$$\int (x^3+1{)}^4{x}^{2}dx$$

$$\int \frac{2x}{x^2+1}dx$$

$$\int \frac{x}{\sqrt{x^2+9}}dx$$

$$\int \frac{1}{3x+5}dx$$

$$\int x(x^2+5{)}^{7}dx$$

$$\int \tan xdx=\int \frac{\sin x}{\cos x}dx$$

← Volver a casi inmediatas