Integral impropia resuelta paso a paso

Integral impropia de e⁻ˣ² en toda la recta (Gauss)

Resolvemos integral impropia de e⁻ˣ² en toda la recta (gauss) paso a paso. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   La campana de Gauss NO tiene primitiva elemental, y aun así la integral tiene un valor exacto.

   $${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx$$
2. 2

   Se resuelve elevando al cuadrado y pasando a coordenadas polares en el plano.

   $${\left({\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx\right)}^2=\pi$$
3. 3

   Por tanto el valor es la raíz de π.

   $$=\sqrt{\pi }$$

Por tanto, el resultado de integral impropia de e⁻ˣ² en toda la recta (gauss) es √π (converge).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? La campana de Gauss no tiene primitiva elemental y aun así vale exactamente √π: se resuelve elevando al cuadrado y pasando a polares.

Error típico. Buscar una primitiva elemental de e⁻ˣ²: no existe. El truco es pasar a coordenadas polares en el plano.

Más integrales de impropias

$${\int }_0^{\pi /2}{\mathrm{sen}}^{6}x{\cos }^{4}xdx$$

$${\int }_0^1\frac{\ln x}{1-x}dx$$

$${\int }_0^{\pi /2}\ln (\mathrm{sen}x)dx$$

$${\int }_0^{\infty }{e}^{-x^2}\cos (bx)dx$$

$${\int }_0^{\infty }\frac{x}{e^x-1}dx$$

$${\int }_0^{\infty }{x}^{-1/2}{e}^{-x}dx$$

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