Integral impropia resuelta paso a paso

Integral de Basilea: ln x/(1 − x) entre 0 y 1

Resolvemos integral de basilea: ln x/(1 − x) entre 0 y 1 paso a paso. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Desarrolla 1/(1−x)=Σxⁿ y multiplica por ln x.

   $${\int }_0^1\ln x\sum _{n=0}^{\infty }{x}^{n}dx$$
2. 2

   Cada ∫₀¹ xⁿln x dx = −1/(n+1)²; suma la serie (problema de Basilea).

   $$-\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=-\frac{{\pi }^2}{6}$$

Por tanto, el resultado de integral de basilea: ln x/(1 − x) entre 0 y 1 es -π²/6.

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? Desarrollando 1/(1−x) en serie geométrica aparece el problema de Basilea (Σ1/n²=π²/6). Una integral inocente que esconde un π².

Error típico. Buscar una primitiva elemental: la clave es desarrollar en serie e integrar término a término.

Más integrales de impropias

$${\int }_0^{\pi /2}\ln (\mathrm{sen}x)dx$$

$${\int }_0^{\infty }{e}^{-x^2}\cos (bx)dx$$

$${\int }_0^{\infty }\frac{x}{e^x-1}dx$$

$${\int }_0^{\pi /2}{\mathrm{sen}}^{6}x{\cos }^{4}xdx$$

$${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx$$

$${\int }_0^{\infty }\frac{\ln x}{1+x^2}dx$$

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