Integral impropia resuelta paso a paso

Integral de Bose–Einstein: x/(eˣ − 1)

Resolvemos integral de bose–einstein: x/(eˣ − 1) paso a paso. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Desarrolla 1/(eˣ−1)=Σe^{−nx} e integra x·e^{−nx}.

   $${\int }_0^{\infty }x{e}^{-nx}dx=\frac{1}{n^2}$$
2. 2

   Suma Σ1/n² = π²/6 (Basilea otra vez).

   $$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$$

Por tanto, el resultado de integral de bose–einstein: x/(eˣ − 1) es π²/6.

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? Desarrollando 1/(eˣ−1) en serie e integrando aparece otra vez Basilea (π²/6). Sale en física estadística.

Error típico. Buscar una primitiva elemental: se resuelve por serie geométrica.

Más integrales de impropias

$${\int }_0^{\infty }{e}^{-x^2}\cos (bx)dx$$

$${\int }_0^{\pi /2}\ln (\mathrm{sen}x)dx$$

$${\int }_0^1\frac{\ln x}{1-x}dx$$

$${\int }_0^{\pi /2}{\mathrm{sen}}^{6}x{\cos }^{4}xdx$$

$${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx$$

$${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{e^x}{1+e^{2x}}dx$$

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