Integral impropia resuelta paso a paso

Integral de ln(sen x) entre 0 y π/2

Resolvemos integral de ln(sen x) entre 0 y π/2 paso a paso. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Por simetría, I=∫₀^{π/2}ln(cos x)dx; súmalas y usa sen x cos x=½sen 2x.

   $$2I={\int }_0^{\pi /2}\ln \left(\frac{\mathrm{sen}2x}{2}\right)dx$$
2. 2

   Se despeja I.

   $$2I=-\frac{\pi }{2}\ln 2+I$$

Por tanto, el resultado de integral de ln(sen x) entre 0 y π/2 es -π/2 ln 2.

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? Por simetría con ln(cos x) y usando sen x cos x=½sen 2x se despeja I=−(π/2)ln 2.

Error típico. Buscar una primitiva de ln(sen x): la clave es la simetría seno↔coseno.

Más integrales de impropias

$${\int }_0^1\frac{\ln x}{1-x}dx$$

$${\int }_0^{\infty }{e}^{-x^2}\cos (bx)dx$$

$${\int }_0^{\infty }\frac{x}{e^x-1}dx$$

$${\int }_0^{\pi /2}{\mathrm{sen}}^{6}x{\cos }^{4}xdx$$

$${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx$$

$${\int }_0^{\infty }\frac{\ln x}{1+x^2}dx$$

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