Integral resuelta paso a paso

Integral de x³/√(x² − 16)

Resolvemos ∫ x³/√(x² − 16) dx —la integral de x³/√(x² − 16)— paso a paso . Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Potencia impar de x: no uses la tabla, gana el cambio algebraico.

   $$u=x^2-16,du=2xdx,x^2=u+16$$
2. 2

   Separa una x y sustituye.

   $$\int \frac{x^2\cdot xdx}{\sqrt{x^2-16}}=\frac{1}{2}\int \frac{u+16}{\sqrt{u}}du$$
3. 3

   Reparte en potencias.

   $$=\frac{1}{2}\int (u^{1/2}+16u^{-1/2})du$$
4. 4

   Integra.

   $$=\frac{u^{3/2}}{3}+16\sqrt{u}$$

Por tanto, la integral de x³/√(x² − 16) es ((x² − 16)^(3/2))/3 + 16√(x² − 16) + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar x³/√(x² − 16).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? La potencia de x es impar (x³), así que el cambio algebraico u=x²−16 es más corto que la secante: separas una x para el du y el resto sale en potencias.

Error típico. Aplicar x=4sec θ por costumbre. Con potencia impar de x, el cambio algebraico evita toda la trigonometría.

Más integrales de sustitución trigonométrica

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+2x+5}}$$

$$\int \frac{dx}{\sqrt{3-2x-x^2}}$$

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+4x}}$$

$$\int x^3\sqrt{1-x^2}dx$$

$$\int \frac{dx}{x^3\sqrt{x^2-1}}$$

$$\int \frac{dx}{(x^2-25{)}^{3/2}}$$

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