Teorema de Rolle
Si una función empieza y acaba a la misma altura —es decir, f(a) = f(b)— y por el camino no tiene ni saltos ni picos, entonces en algún punto de en medio tiene que estar completamente plana: existe un punto c donde la pendiente es cero, o sea f'(c) = 0.
Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b], derivable en el abierto (a, b) y se cumple f(a) = f(b), entonces existe al menos un c en (a, b) tal que f'(c) = 0.
Por qué es obvio en cuanto lo ves
Si sales de una altura y vuelves a la misma, has tenido que dar la vuelta en algún momento. Y justo en el punto donde das la vuelta, la pendiente es cero: la recta tangente queda horizontal. Eso es todo lo que dice Rolle.
🎯 Muévela tú: dónde aparece el punto c
Sube o baja los extremos, cambia de función y observa dónde la curva se pone plana (los puntos verdes). Y cuando quieras, pulsa romper las hipótesis para ver qué pasa cuando la función salta: desaparece el punto c. Si tu navegador no ejecuta el script, abajo tienes la misma idea en una gráfica fija y explicada.
Las tres hipótesis, y qué se rompe al quitar cada una
Esto es lo que de verdad preguntan en la EBAU y en primero: no piden aplicar Rolle, piden comprobar que se puede aplicar. Si falta una sola de las tres condiciones, la garantía se cae. Aquí tienes cada una con el contraejemplo de lo que ocurre al quitarla.
1 · Continua en el cerrado [a, b]
Contraejemplo: f(x) = x en [0, 1), con f(1) = 0.
Se cumple f(0) = f(1) = 0 y es derivable por dentro, pero salta al final: le falta la continuidad en el extremo. Su derivada vale f'(x) = 1 en todo el intervalo, así que nunca es cero. No hay c.
2 · Derivable en el abierto (a, b)
Contraejemplo: f(x) = |x| en [−1, 1].
Cumple f(−1) = f(1) = 1 y es continua, pero el pico en x = 0 la rompe: ahí no es derivable. La pendiente vale −1 a la izquierda y +1 a la derecha, nunca 0. No hay c.
3 · Los extremos a la misma altura: f(a) = f(b)
Contraejemplo: f(x) = x en [0, 1].
Es continua y derivable, pero sube y no vuelve: f(0) = 0 y f(1) = 1 no son iguales. La pendiente vale f'(x) = 1 siempre, nunca 0. No hay c.
¿Por qué cerrado [a, b] pero abierto (a, b)? Se pide continuidad en el cerrado porque los dos extremos tienen que existir de verdad para poder decir que están a la misma altura. En cambio, la derivada solo hace falta en el abierto: en los bordes la derivada lateral podría no existir y daría exactamente igual, porque el punto plano que busca Rolle está por dentro, nunca en a ni en b.
¿Cuántos c hay? Al menos uno, pero pueden ser muchos
Error clásico: creer que hay exactamente uno. Rolle garantiza al menos un c; puede haber varios. Mira f(x) = sen x en [0, 2π]:
Un ejercicio resuelto, paso a paso
Comprueba que se puede aplicar Rolle a f(x) = x² − 4x + 3 en [1, 3] y encuentra el c.
- Continuidad. Es un polinomio, así que es continua en todo ℝ y, en particular, en el cerrado [1, 3]. ✓
- Derivabilidad. También por ser polinomio, es derivable en todo ℝ y, en particular, en el abierto (1, 3). ✓
- Extremos iguales. f(1) = 1 − 4 + 3 = 0 y f(3) = 9 − 12 + 3 = 0. Son iguales. ✓
- Se puede aplicar Rolle. Las tres hipótesis se cumplen, así que existe al menos un c en (1, 3) con f'(c) = 0.
- Buscarlo. La derivada es f'(x) = 2x − 4. La igualo a cero: 2x − 4 = 0, de donde x = 2.
- Comprobar que está dentro. 2 pertenece a (1, 3). ✓
- Resultado. c = 2.
¿Para qué sirve de verdad?
Rolle parece un juguete, pero es el ladrillo del teorema del valor medio: Lagrange no es más que Rolle aplicado a una función auxiliar. Y del valor medio salen cosas que usas constantemente sin darte cuenta:
- que si f'(x) = 0 en todo un intervalo, entonces f es constante;
- que el signo de f' te dice si la función crece o decrece;
- las cotas de error del polinomio de Taylor.
Por eso vale la pena entenderlo bien aquí: el siguiente teorema de la serie, el del valor medio, es literalmente este mismo con un pequeño giro.
Errores típicos
- Aplicarlo sin comprobar las hipótesis: es justo donde se pierden los puntos.
- Confundir el intervalo cerrado [a, b] con el abierto (a, b).
- Dar un c que cae fuera de (a, b) y no darse cuenta.
- Creer que el c es único, cuando puede haber varios.
- Confundir Rolle con el teorema del valor medio (Rolle es el caso f(a) = f(b)).