Integral de x² (x − 3)³

\int x^{2} (x - 3)^{3} d x

Resolvemos ∫ x² (x − 3)³ dx —la integral de x² (x − 3)³— paso a paso por sustitución (cambio de variable). Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado y la explicación en vídeo.

✎ Solución paso a paso

1

$x^{2} = (u + 3)^{2} = u^{2} + 6 u + 9$
2

$= \int (u^{2} + 6 u + 9) u^{3} d u$
3

$= \int (u^{5} + 6 u^{4} + 9 u^{3}) d u$
4

$= \frac{u ^{6}}{6} + \frac{6 u ^{5}}{5} + \frac{9 u ^{4}}{4}$

Resultado

\frac{( x - 3 ) ^{6}}{6} + \frac{6 ( x - 3 ) ^{5}}{5} + \frac{9 ( x - 3 ) ^{4}}{4} + C

Por tanto, la integral de x² (x − 3)³ es (x − 3)⁶/6 + (6(x − 3)⁵)/5 + (9(x − 3)⁴)/4 + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar x² (x − 3)³.

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre la sustitución (cambio de variable)

¿Por qué este método? El cambio u=x−3 reescribe x²=(u+3)² para multiplicar por (x−3)³.

Error típico. No desarrollar (u+3)² tras el cambio.

Teoría: Cambio de variable →

▶ Explicación en vídeo

Te explico esta integral paso a paso en vídeo. Del canal de YouTube DVC Profe.

Ver en YouTube →

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