Integral de x² √(x − 1)

\int x^{2} x - 1 d x

Resolvemos ∫ x² √(x − 1) dx —la integral de x² √(x − 1)— paso a paso por sustitución (cambio de variable). Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado y la explicación en vídeo.

✎ Solución paso a paso

1

$x^{2} = (u + 1)^{2} = u^{2} + 2 u + 1$
2

$= \int (u^{2} + 2 u + 1) u^{1/2} d u$
3

$= \int (u^{5/2} + 2 u^{3/2} + u^{1/2}) d u$
4

$= \frac{2}{7} u^{7/2} + \frac{4}{5} u^{5/2} + \frac{2}{3} u^{3/2}$

Resultado

\frac{2}{7} (x - 1)^{7/2} + \frac{4}{5} (x - 1)^{5/2} + \frac{2}{3} (x - 1)^{3/2} + C

Por tanto, la integral de x² √(x − 1) es 2/7(x − 1)^(7/2) + 4/5(x − 1)^(5/2) + 2/3(x − 1)^(3/2) + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar x² √(x − 1).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre la sustitución (cambio de variable)

¿Por qué este método? El cambio u=x−1 reescribe x²=(u+1)² para multiplicar por la raíz.

Error típico. No desarrollar (u+1)² tras el cambio.

Teoría: Cambio de variable →

▶ Explicación en vídeo

Te explico esta integral paso a paso en vídeo. Del canal de YouTube DVC Profe.

Ver en YouTube →

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