Integral resuelta paso a paso

Integral de 1/(x² − 6x + 13)

Resolvemos ∫ 1/(x² − 6x + 13) dx —la integral de 1/(x² − 6x + 13)— paso a paso completando cuadrados. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Completamos cuadrados tomando la mitad del término con x (-6/2 = -3).

   $$x^2-6x+13=(x^2-6x+9)+4=(x-3{)}^2+2^2$$
2. 2

   Reescribimos la integral para que tome la forma general del arcotangente.

   $$\int \frac{1}{(x-3{)}^2+2^2}dx$$
3. 3

   Aplicamos la fórmula la integral de 1/(u^2 + a^2). Aquí a=2 y u=x-3.

   $$=\frac{1}{2}\arctan \left(\frac{x-3}{2}\right)+C$$

Por tanto, la integral de 1/(x² − 6x + 13) es 1/2 arctg((x − 3)/2) + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar 1/(x² − 6x + 13).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre el método de completar cuadrados

¿Por qué este método? x²−6x+13=(x−3)²+4, arcotangente con a=2.

Error típico. Olvidar el 1/a del arcotangente cuando a=2.

Teoría: Completar cuadrados →

Más integrales de completar cuadrados

$$\int \frac{1}{\sqrt{4x-x^2}}dx$$

$$\int \frac{1}{x^2+4x+5}dx$$

$$\int \frac{dx}{x^2+2x+5}$$

$$\int \frac{dx}{x^2-4x+13}$$

$$\int \frac{dx}{\sqrt{1-4x^2}}$$

$$\int \frac{e^x}{1+e^{2x}}dx$$

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