Integral resuelta paso a paso

Integral de 1/√(1 + x²)

Resolvemos ∫ 1/√(1 + x²) dx —la integral de 1/√(1 + x²)— paso a paso de forma directa. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Es una integral inmediata. Por la linealidad integramos término a término (las constantes salen fuera) y usamos la tabla de primitivas (potencia, exponencial, logaritmo o trigonométricas según el caso).

   $$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\int \frac{dx}{x}=\ln |x|+C$$
2. 2

   Integramos cada término aplicando su primitiva:

   $$\int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx=\mathrm{asinh}\left(x\right)$$
3. 3

   Operamos y añadimos la constante de integración C:

   $$=\mathrm{arcsinh}x=\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)+C$$

Por tanto, la integral de 1/√(1 + x²) es arcsinh x = ln(x + √(x² + 1)) + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar 1/√(1 + x²).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre la integración directa

¿Por qué este método? 1/√(1+x²) es la derivada del arcoseno hiperbólico: su primitiva es arcsinh x = ln(x+√(1+x²)).

Error típico. Confundirla con 1/√(1−x²) (que da el arcoseno normal).

Teoría: Tabla de integrales →

Más integrales de directa

$$\int \frac{e^x-e^{-x}}{2}dx$$

$$\int (x+3{)}^{2}dx$$

$$\int (\cosh x-2\sinh x)dx$$

$$\int \frac{x^4+x^2+1}{x^2}dx$$

$$\int {\mathrm{sech}}^{2}xdx$$

$$\int \frac{(\sqrt{x}+1{)}^2}{x}dx$$

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